Cálculo Modular de Notas e de Intervalos

Do ponto de vista numérico-matemático, uma nota musical pode ser representada por um determinado número inserido num universo ilimitado de números. Se a nota Dó central, por exemplo, arbitrariamente ocupar a posição 60. Este universo pode ser dividido qualitativamente num universo ideal, no nosso caso, em função do número de partes da divisão do diapasôn (da oitava justa).

Por exemplo, utilizando a nossa escala cromática o universo ideal seria a divisão duodenária (12) e a representação dos números a seguinte:

• o número 0 (zero) a nota Dó;
• o número 1 (um) a nota Dó# ou Réb;
• o número 2 (dois) a nota Ré;
• o número 3 (três) a nota Ré# ou Mib;
• o número 4 (quatro) a nota Mi;
• o número 5 (cinco) a nota Fá;
• o número 6 (seis) a nota Fá# ou Solb.
• o número 7 (sete) a nota Sol;
• o número 8 (oito) a nota Sol# ou Láb;
• o número 9 (nove) a nota Lá;
• o número 10 (dez) a nota Sib ou Lá#;
• o número 11 (onze) a nota Si;

O próximo número o 12 (doze) e os múltiplos de 12 (24, 36, 48, 60, ...) seriam todos a nota dó algumas oitavas ou diapasôn acima da nota dó 0 (zero); o mesmo é verdade em relação a proporção de todas as outras notas, numericamente representadas pelos outros números.

A tabela abaixo demonstra mais claramente a divisão dos números e notas (esse também é o padrão utilizado nos dispositivos MIDI):

Nessa organização dada, se tomarmos qualquer número como, por exemplo, 459 que nota seria esta?

 A operação básica para descobrir o nome da nota referente a esta posição, denominada matematicamente de “módulo” é dividir o número 459 pelo universo estabelecido: 12.

459 :12 = 38 e sobra (ou resto) 3.

Note que na divisão o número da sobra ou resto é sempre maior ou igual a zero e menor que o número de partes do universo ideal, ou seja, no nosso exemplo, o número da sobra nunca seria maior ou igual a 12 (doze).

 Dois são os valores que nos interessam o primeiro 38, este número inteiro obtido como resultado ou quociente, representa o número de oitavas em que a nota seria encontrada da oitava ideal; o segundo3, a sobra ou resto, gerador das casas decimais, representa a nota inserida naquela oitava. No caso 3é igual a nota Ré# ou Mib.

Na verdade o que acontece nesta operação, denominada pela linguagem de programação matemática de Módulo, é a divisão do universo dos números inteiros em porções geométricas (intervalos) iguais delimitadas, no nosso caso pela quantidade de notas ou freqüências inseridas no diapasôn.

Observe na próxima tabela que se continuássemos até a oitava 38 atingiríamos, conseqüentemente, a nota do nosso exemplo:

Seguindo o mesmo raciocínio e o tipo de cálculo modular, poderíamos designar as distâncias possíveis de duas notas ou freqüências dentro deste universo, já que sob o mesmo ponto de vista da matemática, o Intervalo pode ser medido pela diferença entre dois números, desde que estes números representem as posições escalísticas ideais das notas possíveis já divididas em subconjuntos ou partes iguais ao número de notas inseridas no diapasôn ou oitava.

No nosso exemplo da escala cromática as seguintes possibilidades se apresentam:

• o número 0 (zero) Intervalo de Uníssono justo ou mesma nota;
• o número 1 (um) Intervalo de 2ª menor ou 1 nota à frente (notas vizinhas);
• o número 2 (dois) Intervalo de 2ª maior ou 2 notas à frente;
• o número 3 (três) Intervalo de 3ª menor ou 3 notas à frente;
• o número 4 (quatro) Intervalo de 3ª maior ou 4 notas à frente;
• o número 5 (cinco) Intervalo de 4ª justa ou 5 notas à frente;
• o número 6 (seis) Intervalo de 4ª aumentada ou 6 notas à frente;
• o número 7 (sete) Intervalo de 5ª justa ou 7 notas à frente;
• o número 8 (oito) Intervalo de 6ª menor ou 8 notas à frente;
• o número 9 (nove) Intervalo de 6ª maior ou 9 notas à frente;
• o número 10 (dez) Intervalo de 7ª menor ou 10 notas à frente;
• o número 11 (onze) Intervalo de 7ª maior ou 11 notas à frente;

Como calcular o intervalo entre as notas que ocupam a posição 69 e 100, respectivamente?

A resposta pode ser obtida em três passos.

• primeiro passo: descobrir a direção do intervalo (se ascendente ou descendente). Isto é obtido observando a grandeza de cada um dos números envolvidos. No nosso exemplo, 69 é menor que 100 portanto, o intervalo é ascendente ou seja, vai do grave para o agudo. Quando o primeiro número é maior do que o segundo, o intervalo é descendente ou seja, vai do agudo para o grave. Se os números forem iguais o intervalo não tem direção e, fora as possíveis enarmonizações, é a mesma nota (um intervalo de uníssono justo).

• segundo passo: determinar os nomes das notas envolvidas. Isto pode ser obtido realizando a operação de módulo já explicada anteriormente.

O cálculo das notas:

1ª Nota - 69 : 12 = 5 e sobra 9 portanto a nota Lá na oitava 5;

2ª Nota - 100 : 12 = 8 e sobra 4 portanto a nota Mi na oitava 8.

• terceiro passo: o cálculo do intervalo é obtido pelo módulo da diferença entre os números iniciais do maior para o menor. 

Diferença entre os números:

100 - 69 = 31

Operação de Módulo:

31 : 12 = 2 e sobra 7

O resultado do intervalo é, observando o número 7 na ordem anterior, igual a Quinta justa ou 7 notas à frente com mais duas oitavas (o número 2) de diferença portanto composto.

Organizando melhor os dados: O intervalo entre as notas ocupadas pelas posições 69 e 100 é de 5ª justa ascendente composta e representam as notas Lá e Mi, respectivamente.

A operação de módulo é normalmente empregada em diversas áreas como teoria musical, informática (lógica de programação) e outras. Esta foi uma “ferramenta” básica utilizada na organização dos elementos teórico-perceptivos musicais na linguagem de programação do software “Exercícios e Treinamentos Musicais”.